A los
estudiantes:
Les pido que
lean la teoría, que la copien en su carpeta y que resuelvan los ejercicios en
la misma. Las clases están organizadas por semanas. La clase uno la vimos en la
escuela y la agrego para darle continuidad al trabajo y por si les falta algo
(no está exactamente igual a lo trabajado en clase, cambian la redacción y los
números de los ejercicios). La semana próxima recibirán nuevo material. Ante
consultas comunicarse vía mail: juanbarinaga17@hotmail.com o vía whatsapp 2215936796
Observación. No fue posible cargar algunas imágenes explicativas y ejercicios ya que el blog no reconoce el algunos caracteres. Escribir al teléfono y envío el pdf completo.
MATEMÁTICA 1°
Clase 1
Conjunto de números naturales.
Definimos a un conjunto como a una agrupación de elementos basados en alguna característica en particular. Ejemplo: el conjunto de todas las bicicletas color rojo. Dentro de ese conjunto puedo poner cualquier bicicleta roja pero no puedo ninguna bicicleta de otro color ni ningún otro elemento que no sea una bicicleta. Ejemplo: una bicicleta blanca, una silla, una remera. Los conjuntos pueden ser de elementos físicos o no. Ejemplo: el conjunto de todos los perros (físico), el conjunto de todos los sentimientos.
Agruparemos a los números en conjuntos (numéricos) y los ordenaremos en función de una línea de tiempo.
Definimos al conjunto de los números naturales como una agrupación de números y lo representamos con una letra “N” mayúscula. Este conjunto se llama así ya que estos números en particular surgen de una necesidad NATURAL del hombre, que es la de contar. Pensando en un hombre primitivo con las únicas necesidades de sobrevivir y reproducirse, necesita contar como herramienta para poder sobrevivir. Contar cuanta comida, cuántos hijos, cuantos días, etc.
Los números de este conjunto provienen de la observación de la naturaleza, es por eso que son positivos y enteros (no tienen decimales) ya que, por ejemplo, el hombre puede tener un perro, dos perros, tres perros pero no un perro y medio. Si tengo una piedra y la parto tendré dos piedras (más pequeñas) pero no dos medias piedras. Este conjunto numérico tiene un primer elemento que es el número uno, un segundo elemento que es el número dos, un tercer elemento que es el tres, etcétera; pero no tiene último elemento ya que a cualquier numero infinitamente grande puedo sumarle uno y así obtener su siguiente.
Existe una relación que podemos identificar dentro de N y es que éste es un conjunto creciente, por lo tanto podemos establecer una relación de orden. Esto nos permite, dados dos números diferentes decir cual es mayor y por lo tanto se encuentra más a derecha en la recta numérica. Introducimos así el concepto “mayor que” y “menor que”.
Todo número natural posee un único sucesor, que es otro número natural que se encuentra inmediatamente a su derecha en la recta numérica. Por lo tanto todo numero natural tiene un antecesor, salvo el numero uno (por definición el cero no es natural).
Definición:
Número: definimos al número como un símbolo que representa una determinada cantidad.
Recta numérica: es una recta graduada donde tomamos un punto para el cero y ubicaremos hacia la derecha del mismo en forma ordenada, equidistante y creciente los números.
Actividad.
1-ordene de menor a mayor los siguientes números: 14;5;1;1421;562;3;42;111;1;427.
2- ordene los siguientes números y márquelos en una recta numérica: 6;8;11;1;4;2;13.
3-describa una situación cotidiana en la que utilice exclusivamente números naturales.
4-complete el espacio punteado con “mayor que” o menor que”.
a) 5…….9
b) 57…….23
c) 17……325
d) 28……82
e) 1010……101
f) 34……0
Clase 2
Repaso de operaciones
Suma (adición)
“Sumar dos o más números implica encontrar otro de manera que este ultimo representa la misma cantidad que los primeros agregados.”
“sumar es reunir en una sola expresión numérica la acumulación de varias otras”
Las posiciones que ocupan los números en una operación de suma reciben nombres especiales. Sea “A + B = C”
A: se llama sumando
B: se llama sumando
C: se llama adición
Ej: 3+4=7 los números 3 y 4 son los sumandos y 7 es la adición.
Propiedades:
Conmutativa: la suma es conmutativa en general, por lo tanto lo es dentro del conjunto de naturales.
Asociativa: la suma es asociativa en general, por lo tanto lo es dentro del conjunto de naturales.
Existencia del elemento neutro: definimos al cero como neutro aditivo. De manera tal que sea “A” perteneciente al conjunto de los números naturales, se verifica que “ A+0 = 0+A = A”
Ley de cierre: la ley de cierre se verifica dentro del conjunto de los naturales, esto quiere decir que cuales quiera sean los sumandos que intervienen en la suma, siempre y cuando estos sean números naturales, el resultado indefectiblemente pertenecerá al conjunto de los números naturales.
Actividad: resuelva las siguientes sumas.
A) 4+9=
B) 23+48=
C) 323+59=
D) 1329+4909=
E) 10+409+120=
F) 1325+333+51=
G) 624927+725643=
H) 2345629+5000200+14+23690=
Clase 3
Resta (sustracción)
A diferencia de la suma, cuando se resta dos números naturales, el primero debe de ser siempre mayor que el segundo.
En la operación de resta, las posiciones de los números tienen un nombre diferente al de la suma:
Sea “A - B = C”
A: se llama minuendo
B: se llama sustraendo
C: se llama sustracción o diferencia
Por lo tanto “A” debe de ser siempre mayor que “B” para que “C” pertenezca al conjunto de los números naturales.
Ej: A) 7-2 = 5 B) 27-11 = 16 C) 5-14 = no tiene resolución en “N”
Ley de cierre: Sólo bajo estas condiciones (cuando el minuendo es mayor que el sustraendo) podemos hablar de ley de cierre para la resta en “N”.
Propiedad conmutativa: La resta no goza de esta propiedad. Su verificación puede realizarse mediante un contraejemplo. (5-3 no es igual a 3-5)
Propiedad asociativa: La resta no goza de esta propiedad. Al agrupar de diferente manera el resultado varía. Su verificación puede realizarse mediante un contraejemplo. 8-5-3 no es igual a 8-(5-3)
Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero, ya que al restar cero a cualquier número natural la diferencia coincide con el minuendo.
Actividad. Resuelva, cuando sea posible en “N” las siguientes restas.
A) 39-25=
B) 148-59-13=
C) 533-439-250=
D) 1326-899=
E) 10639-999-8761=
F) 9888-(10456-4333)=
G) 728-(9582-8999)=
H) 9999019-(1333613-100323)-(5500000-202841)=
Clase 4
Actividad: resuelva las siguientes sumas y restas combinadas.
1) 27+322+99-129=
2) 639-566+9+1322-95=
3) 79+591-333+1009=
4) 9887-7331-55+17832-99=
5) 91034-11833+27+9088+6702-1114=
6) 9083-209-9090+270210-67314=
7) Un tanque de agua tiene una capacidad de 538 litros máximo. Ayer se llenó de agua y luego se usaron para lavar un auto 134 litros. ¿Cuántos litros de agua tiene luego de lavar el auto?
Luego se le agregan con una manguera 279 litros de agua. ¿Es posible?
MULTIPLICACIÓN
Multiplicar un número por otro es sumar reiteradamente un mismo número tantas veces como lo indica el otro. Así cuando multiplico 3x4 sumo cuatro veces tres que equivale a doce. Por lo que 3+3+3+3= 12 y 3x4=12
La multiplicación o producto de dos números naturales es una forma abreviada de expresar la suma repetida de un número. Si el numero A y el numero B son números naturales, su multiplicación se define como la suma repetida del numero A una cantidad de veces igual al número B.
A x B= A+A+A+A+A+A+………..A
-------“B” veces-----------
Esta operación se representa mediante el símbolo “X”, en donde “A” se llama multiplicando y “B” se llama multiplicador. “A “ y “B” también reciben el nombre de “factores”.
Actividad. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1) 9x4=
2) 5x8=
3) 23x5=
4) 17x32=
5) 345x26=
6) 1944x251=
Propiedades
Ley de cierre. Toda multiplicación de dos o más números naturales da como resultado siempre otro numero natural.
Conmutativa. El resultado de multiplicar dos números naturales que llamaremos “A” y “B” será el mismo si ubicamos primero el numero A o si ubicamos primero el numero B.
A x B = B x A
Asociativa. Al igual que la suma, la multiplicación es una operación binaria.(sólo intervienen dos factores) para multiplicar más de dos factores es necesario asociarlos consecutivamente para realiza la operación mediante varias multiplicaciones de dos factores. La propiedad asociativa de la multiplicación dice que sin importar el orden en que realizamos las multiplicaciones parciales, el resultado final de la operación no cambiará. Por lo tanto se desprende que el producto total de una multiplicación no varía si se reemplazan dos o más de los factores por su producto parcial.
Ejemplo. 5 x 2 x 7 x 3 = 210
(5 x 2) x (7 x 3) = 10 x 21 = 210
5 x (2 x 7) x 3 = 5 x 14 x 3 = (5 x 14) x 3 = 70 x 3 = 210
Elemento neutro. El número “1” es el elemento neutro de la multiplicación. Esto quiere decir que sea un número natural cualquiera llamado “A” se cumple que 1 x A = A x 1 = A
Elemento absorvente. El “0” es el elemento absorbente para la multiplicación. Por esta propiedad el producto de una o varias multiplicaciones de números naturales es igual a cero si al menos uno de los factores es igual al cero. Si A x B = 0 entonces A o B o ambos es cero.
Distributibidad con respecto a la duma y a la resta. Es importante tener en cuenta que la distributividad no es una propiedad específica de la multiplicación. La misma está definida con respecto a la suma y a la resta.
También es importante recortar que esta propiedad la podemos encontrar tanto a derecha como a izquierda.
Ejemplo.
A izquierda para suma A x (B + C) = AxB + AxC
A izquierda para resta A x (B – C) = AxB – AxC
A derecha para suma (A + B) x C = CxA + CxB
A derecha para resta (A – B) x C = CxA – CxB
Ejemplo
con números.
5x (5+2) = 5x7 = 35
Aplicando propiedad en el ejercicio anterior
5x (5+2)= 5 x 5 + 5 x
2 = 25 + 10 = 35
Separación en términos
Para resolver operaciones donde intervienen las operaciones de suma y resta con las de multiplicación (y más adelante la de división) es necesario antes de empezar a operar separar en términos.
Separar en términos significa agrupar operaciones para resolver por grupos. Son los signos “+” y “-“ los que separan las operaciones en diferentes grupos.
Ejemplo. A) 5 x 2 + 3 x 7 = 10 + 21 = 31 Así se arman dos grupos de resolución uno a izquierda y otro a derecha del “+”
B) 8 – 2 x 3 = 8 – 6 = 2
C) 9 + 2 x 8 – 3 = 9 + 16 – 3 = 22
Actividad. Resuelve.
1) (9-3)x2=
2) 15x(2+7)=
3) 37-9x2=
4) (13+2-5)x3=
5) (31-22-5+9)x 4=
6) 5x2-7+13x3-2x4=
7) 1321-(233-299)x3=
8) (13-8)x(3+2)=
9) 13+(5x3)-2=
10) 5x4-3x1+9x7=
Clase 5
División
La división de dos números naturales es la operación que calcula cuantas veces un numero (el divisor) está contenido en otro (el dividendo).
La división puede expresarse mediante la siguiente simbología:
1) :
2) /
3) 
Para poder realizar la división entre dos números naturales, el dividendo ha de ser mayor o igual al divisor, y además el divisor debe de ser siempre distinto de cero.
Tipos de divisiones:
División exacta. Una división es exacta cuando el resto es cero.
Ejemplo. 15/5 donde el cociente es 3 y el resto 0
División no exacta o entera. Una división es no exacta cuando el resto es distinto de cero.
Ejemplo. 17/5 donde el cociente es 3 y el resto 2
Propiedades
Ley de cierre. La división no es una operación interna dentro del conjunto de los números naturales. El resultado de dividir dos números naturales no es siempre otro número natural. Ejemplo. 2/6.
Conmutatividad. La división no es conmutativa en general por lo tanto tampoco lo es en particular.
Ejemplo. 2/10 arroja un resultado diferente a 10/2.
El cero como dividendo sin importar el divisor, arroja un cociente igual a cero.
Ejemplo. 0/7=0 0/179=0 0/1421=0
No es posible utilizar el cero como divisor. La división por cero no está definida.
Ejemplo. 6/0= no está definido
Actividad.
Resuelve las siguientes restas y clasifícalas según su resto.
1) 344/2=
2) 333/7=
3) 697/41=
4) 12676/39=
5) 8296/17=
Resuelve los siguientes ejercicios combinados (recuerda separar en términos)
1) 72/2+54-13x3=
2) 145+9x23-12=
3) 1421/7-133=
4) 33/3+5x7-10+675=
5) 1745/5+709x2-25-1000/50=
Una familia ha consumido un litro de agua, tres litros de gaseosa y dos litro de soda. ¿Cuántos litros de líquido han consumido en un día? ¿Cuántos litros se consumen en una semana?
Clase 6
Potenciación
Así como al momento de definir el concepto de multiplicación lo hicimos como una suma abreviada, podemos ahora pensar el concepto de potencia como una multiplicación abreviada.
Existe una diferencia en este último concepto y es que cuando trabajamos con una potencia, la multiplicación se aplica siempre sobre el mismo número o base.
Ejemplo. 5+5+5+5=20 de (suma a multiplicación) 5x4=20
5x5x5=
125 (de multiplicación a potencia) 
=125
Así como podemos abreviar en el primer
caso la suma y reemplazarla por una multiplicación donde se mantiene el numero
base (5) y se lo multiplica por 4 (la cantidad de veces que se suma el 5) en
este nuevo caso usamos también el 5 como base y lo elevamos a la cantidad de
veces que se multiplica (3).
Entonces una potencia es un modo
abreviado de escribir un producto, pero en ese producto siempre multiplica el
mismo número. Por ejemplo 3x3x5 puede expresarse sólo como potencia el 3 y
no el 5.
3 x 3 x 5 = 
x 5
Los números que intervienen en una
potencia reciben nombres especiales.
Para leer o nombrar una potencia decimos primero el numero base y luego el exponente, que cuando sea 2 diremos “al cuadrado”, cuando sea tres “al cubo”, y para los exponentes posteriores se dirá “elevado a la cuarta, a la quinta, a la sexta……” según corresponda.
Se lee “tres al cuadrado”
Se lee “cinco al cubo”
Se lee “cuatro a la sexta”
IMPORTANTE!!!
Sin importar cuál sea la base, si el exponente es “1”, la potencia es la misma base.
Sin importar cual se la base, si el exponente es “0”, la potencia es “1”.
Propiedades:
Cuando multiplicamos o dividimos números de igual base sin importar cuales sean sus exponentes, sumaremos o restaremos sus exponentes según corresponda y los pondremos bajo una misma base.
x = 
se mantiene la base y se suman los exponentes
si hay multiplicación.
/ 
= 
se mantiene la base y se restan los
exponentes si hay división.
Si elevamos una base de
manera sucesiva a varios exponentes, obtendremos el mismo resultado si elevamos
dicha base a la multiplicación de los exponentes dados.
= 
Es 16 y 
es 4096 y también es 4096
Actividad.
Expresa como potencia.
1) 3x3=
2) 5x5=
3) 9x9x9x9=
4) 13x13x13x13x13=
5) 5x5x2x2=
6) 9x9x4x4x4=
7) 1x1x1x1x1=
8) 0x0x0=
Resuelve las potencias.
1) 
=
2) =
3) 
=
4) 
=
5) 
=
6) =
7) 
=
8) (
=
9) 
X =
10) 
/ 
=
Clase 7
Radicación
La radicación es l operación inversa de la potenciación y la misma consiste en que dados tres números llamados radicando, índice y raíz se establece una relación entre ellos de manera tal que la raíz elevada al índice da como resultado el radicando.
Por el momento trabajaremos exclusivamente con radicales cuya raíz sea un numero natural.
Para leer o nombrar una raíz decimos primero el numero índice y luego el radicando, que cuando sea 2 diremos “cuadrada”, cuando sea tres “cubica”, y para los exponentes posteriores se dirá “cuarta, quinta, sexta……” según corresponda.
Se lee “raíz cuadrada
de 4”
Se lee “raíz cubica de
27”
Se lee “raíz octava de
256”
Actividad. Calcule las siguientes raíces.
1)
=
2)
=
3)
=
4)
=
5)
=
6)
=
7)
=
8)
=
9)
=
10)
=
Propiedades
Raíz de producto. La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.
= 
x 
(“n” debe ser siempre distinto de cero)
Ejemplo.
= x 
= 3 x 4 = 12
Pero si no utilizo la
propiedad puedo resolver igual.
= 
= 12
Raíz de cociente. La
raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.
= 
Ejemplo.
= 
= 
Pero si no utilizo la
propiedad puedo resolver igual.
= 
= 2 (es
el mismo resultado ya que puede simplificarse y da 2 )
Raíz de raíz. Para calcular una raíz
de raíz, se multiplican los índices y se conserva el radicando.
Ejemplo.
= 2
(raíz de raíz se reemplaza por una sola raíz cuyo índice es la
multiplicación de los índices dados)
Actividad. Resuelve.
1) 
=
2) 
=
3) 
=
4) 
=
5) 
=
6) 
=
7) 
=
8) 
9) 
=
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